Métropole, septembre 2023 (partiel)

On considère la suite ( \(u_n\) ) définie par : \(\begin{cases} u_1&= \dfrac{1}{\text e} \\ \\u_{n+1}&= \dfrac{1}{\text e}(1+\frac{1}{n})u_n\;\text{pour tout entier} \;n\geqslant1\end{cases}\)

1. Calculer les valeurs exactes de \(u_2\)  et \(u_3\) . On détaillera les calculs.

2. On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel  \(n\) donné, affiche le terme \(u_n\) . Compléter les lignes \(L_2\)  et \(L_4\)  de ce programme.

\(\begin{array}{| l| } \hline L_1 & \texttt{def suite(n): } \\ L_2 & \quad................. \\ L_3 &\quad \texttt{for i in range(1, n): } \\ L_4 &\quad\quad\texttt{u=.....................} \\ L_5 &\texttt{return u} \\ \hline \end{array}\)

3. On admet que tous les termes de la suite ( \(u_n\) ) sont strictement positifs.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel  \(n\) non nul, on a : \(\displaystyle1+\frac{1}{n}\leqslant \text e\) .
    b. En déduire que la suite ( \(u_n\) ) est décroissante.

4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul, on a : \(\displaystyle u_n = \frac{n}{\text e^n}\) .